\[ \require{physics} \]
いつかやった記憶はあるが，導出は忘れてしまった気体分子のfluxの式について．
\[ J = \frac{1}{4} n \bar{v} \]
この式の導出について．まず，時間あたり，単位面積あたりのある壁に向かう分子の数を考える．
\[ \mathrm{d}^2 N = \int_{\mathrm{hemisphere}} v \cos \theta \frac{\dd \Omega}{4 \pi} C \dd A \dd t \]
ここで， \(\Omega\) というのは立体角である．立体格ってのは，球の表面積を，球の中心からの距離の2乗で割ったものである．
\[ \begin{aligned} \Omega &= \frac{\dd S}{r^2} \\ \dd S &= r^2 \sin \theta \dd \theta \dd \phi \\ \dd \Omega &= \sin \theta \dd \theta \dd \phi \\ \end{aligned} \]
定義式から，
\[ J = \frac{\mathrm{d}^2 N}{\mathrm{d}t \mathrm{d}A} = \int v \cos \theta \frac{\dd \Omega}{4 \pi} C = \frac{1}{4} Cv \]
ここで，マクスウェル分布
\[ \begin{aligned} f(v_x, v_y, v_z) &= \left(\frac{m}{2 \pi k_B T}\right)^{3/2} \exp\left(-\frac{m}{2 k_B T} (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)\right) \\ F(v) \dd v &= 4 \pi v^2 \dd v f(v_x, v_y, v_z) \\ \therefore \bar{v} &= \int_0^\infty v F(v) \dd v = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}} \\ C &= \frac{p}{k_\mathrm{B} T} \\ \therefore J &= \frac{1}{4} C \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}} = \frac{p}{\sqrt{2 \pi m k_\mathrm{B} T}} \end{aligned} \]
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