\(\require{physics}\)
1
| 難易度 | 所要時間 |
|---|---|
| B | 30分 |
問題
\(n\) を非負整数として、次の不等式を示せ。
\[ \left( \frac{2n - 1}{e} \right) ^ {\frac{2n-1}{2} } < 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1) < \left( \frac{2n + 1}{e} \right) ^ {\frac{2n+1}{2} } \]
ただしネイピア数 \(e\) のおおよその値は \(2.718\) であることは示さなくとも良い。
解答
2
| 難易度 | 所要時間 |
|---|---|
| A | 15分 |
問題
直角双曲線 \(x^2-y^2=2\) 上の異なる３点を頂点とする三角形の垂心の存在範囲を求めよ
解答
考える直角双曲線を \(\pi / 4\) 回転して考えると、回転後の座標を \((X,Y)\) としたとき、回転行列や複素数の回転公式から、
\[\begin{equation} \left \{ \, \begin{aligned} x &= X \cos \frac{\pi}{4} + Y \sin \frac{\pi}{4} \\ y &= -X \sin \frac{\pi}{4} + Y \cos \frac{\pi}{4} \end{aligned} \right. \end{equation}\]
という式が成り立つので、それを与えられた式に代入して整理すると、
\[ xy = 1 \]
となる。与えられた3点を \(A(a,1/a), B(b,1/b), C(c,1/c)\) とすると、
\[ BC: x + bcy = b + c \]
となるので、 \(A\) を通る \(BC\) に垂直な直線の方程式は、
\[ A_\perp : abcx - ay = a^2bc - 1 \]
となる。対称性により、 \(B\) を通る \(AC\) に垂直な直線の方程式、
\[ B_\perp : abcx - by = b^2ac - 1 \]
となるので、垂心の座標は、\((-1/abc,-abc)\) である。なので、垂心の存在範囲は、元の直角双曲線上全体となる。
3
| 難易度 | 所要時間 |
|---|---|
| B | 20分 |
問題
\(n \in \mathbb{Z}_{>0}\) として、次の条件を満たす複素数 \(z\) を考える。
\(z\) および \(z^n + 1\) の絶対値が共に \(1\) である。
このとき、条件を満たす相異なる \(z\) 全ての和と積を求めよ。
解答
4
| 難易度 | 所要時間 |
|---|---|
| A | 20分 |
問題
\(z \in \mathbb{C}\) として、 \(z+\frac{4}{z}\) が実数であるとする。このとき、次の式を満たす \(z\) が存在するような \(k \in \mathbb{R}\) の値の範囲を求めよ。
\[ k\left( z + \frac{4}{z} + 8 \right) = i \left( z - \frac{4}{z} \right) \]
解答
\(z\) が実数の場合、\(z+\frac{4}{z}\) が実数であるのは当然である。ゆえに与えられた条件式の右辺の虚部が \(0\) となるので、\(z-\frac{4}{z}=0\) から、 \(z=\pm 2\) となる。これを代入すると、 \(k=\pm 0\) となる。
次に、\(z=r(\cos \theta + i \sin \theta)\) とおくと、 \(z+\frac{4}{z}\) が実数であるから、その条件を求めれば \(r=\pm2\) となるが、極表示なので、 \(r=2\) とできる。それを与えられた式に代入すると、
\[ k\left( 4 \cos \theta + 8 \right) = i \left( 4i \sin \theta \right) \]
となるわけだが、
\[ k = - \frac{\sin \theta}{\cos \theta + 2} \]
となるので、 \(k\) の範囲は、点 \((2,0)\) と単位円上の点を結ぶ直線の傾きに \(-1\) をかけたものの範囲となる。これについては簡単な図形的考察で \(\left[ -\frac{1}{\sqrt{3} }, \frac{1}{\sqrt{3} } \right]\) 求められる。
よって答えは
\[ k \in \left[ -\frac{1}{\sqrt{3} }, \frac{1}{\sqrt{3} } \right] \]
5
| 難易度 | 所要時間 |
|---|---|
| A | 10分 |
問題
極限値 \[ \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[2 x]{b}}{2}\right)^{2 x} \] を求めよ。ただし \(a, b\) は正の定数とする。
解答
6
| 難易度 | 所要時間 |
|---|---|
| B | 20分 |
問題
- \(x > 0,\; 0<\theta<\frac{\pi}{2}\) とする。
\[ \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \frac{1}{\cos \theta} \]
となるとき、 \(\dv{x}{\theta}\) を求めよ。
- 次の極限値を求めよ
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \qty( \frac{2}{e^x+e^{-x}} )^n \dd x \]
ただし、この極限は収束することは示さなくとも良い。
解答
\[ x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \cdot \frac{1}{\cos\theta} \tag{1} \]
両辺を \(\theta\) で微分して、
\[ \frac{dx}{d\theta} = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \cdot \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} \]
ここで
\[ y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad y' = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \]
を用いると、
\[ \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 - 1 \]
となり、
\[ \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \cdot \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \]
が成り立つ。
これを (2) に代入して、
\[ \frac{dx}{d\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \cdot \frac{dx}{d\theta} \cdot \frac{1}{\cos\theta} \]
\(a \to \infty\) を考えるので、\(a>0\) とする。
\[ \int_{-a}^a \left(\frac{2}{e^x + e^{-x}}\right)^n dx = 2\int_{0}^a \left(\frac{2}{e^x + e^{-x}}\right)^n dx \tag{5} \]
ここで
\[ e^x + e^{-x} = 2\cosh x \]
を用い、\(x=0\) のとき \(\theta=0\), \(x=a\) のとき \(\theta = \theta_a\) として変数変換すると、
\[ (5) = 2\int_{0}^{\theta_a} \cos^{n-1}\theta \, d\theta \]
極限 \(a\to\infty\) のとき \(\theta_a \to \pi/2\) だから、
\[ I_n = \int_0^{\pi/2} \cos^{n-1}\theta \, d\theta \tag{6} \]
を得る。部分積分より、
\[ I_n = (n-1) \int_0^{\pi/2} (1 - \cos^2\theta)\cos^{n-2}\theta \, d\theta \]
\[ I_n = (n-1)(I_{n-2} - I_n) \]
\[ I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2} \]
\[ I_0 = \int_0^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}, \quad I_1 = \int_0^{\pi/2} \cos\theta \, d\theta = 1 \]
- \(n=1\) のとき \(2I_{n-1} = \pi\)
- \(n\) が奇数のとき：
\[ 2I_{n-1} = \frac{2}{n-2} \cdot \frac{n-2}{n-1} \cdot \frac{n-4}{n-3} \cdots \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{2} \]
- \(n=2\) のとき \(2I_{n-1} = 2\)
- \(n\) が偶数のとき：
\[ 2I_{n-1} = \frac{2}{n-2} \cdot \frac{n-2}{n-1} \cdot \frac{n-4}{n-3} \cdots \frac{2}{3} \]