数学I

Math

Author

Serika Yuzuki

Published

October 14, 2023

各問では、最初に問題だけを読み、解き終えてから折りたたみの「解答」で式の流れを確認できます。難易度と所要時間は演習の目安です。

第1問

難易度: C+ 発展、4段階中3
所要時間: 30分目安

問題

次の $x$ についての方程式の解を求めよ．ただし、 $0<a<\frac{1}{4}$ とする。

\[ x^2 + 2ax + \frac{1}{16} = -a + \sqrt{a^2 + x - \frac{1}{16}}\; \]

解答

第2問

難易度: C 発展、4段階中3
所要時間: 30分目安

問題

次のような条件を満たす非負整数 $n$ は無限に存在する事を示せ。

$n,n+1,n+2$ のいずれも二つの整数の平方の和である。

例えば、$n=0$ の時、$0,1,2$ は $0^2+0^2, 0^2+1^2, 1^2+1^2$ となり条件を満たす。

解答

$t$ を非負整数とし、$a=10t+2$ とおく。このとき $a$ は偶数で、$a^2+1$ は $5$ で割り切れる。$t\geq1$ なら $a^2+1>5$ だから

\[ a^2+1=pq, \qquad p=5,\quad q=\frac{a^2+1}{5} \]

と、二つの奇数 $p,q>1$ の積に分解できる。そこで

\[ A=\frac{p+q}{2},\qquad B=\frac{q-p}{2} \]

とおくと、$A,B$ は整数であり、

\[ A^2-B^2=pq=a^2+1 \]

が成り立つ。$n=A^2-1$ と定めれば

\[ \begin{aligned} n&=A^2-1=a^2+B^2,\\ n+1&=A^2+0^2,\\ n+2&=A^2+1^2. \end{aligned} \]

よって3数はいずれも二つの整数の平方の和である。$t$ を大きくすれば $A$、したがって $n$ も大きくなるため、このような $n$ は無限に存在する。

第3問

難易度: B 標準、4段階中2
所要時間: 15分目安

問題

$m,n$ が正整数であるとき、次の値が整数である事を示せ。

\[ \frac{\gcd (m,n)}{n} \binom{n}{m}=\frac{\gcd (m,n)}{n} {}_n\mathrm{C}_m \]

解答

\[ \lambda m + \mu n = \gcd (m,n) \]

となる整数 $\lambda, \mu$ が存在する。この時、与えられた式の値 $A$ は、

\[ \begin{align*} A &= \frac{\gcd (m,n)}{n} \binom{n}{m}\\ &= \frac{\lambda m + \mu n}{n} \binom{n}{m}\\ &= \lambda \frac{m}{n} \binom{n}{m} + \mu \binom{n}{m}\\ &= \lambda \frac{m}{n} \frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1} + \mu \binom{n}{m}\\ &= \lambda \binom{n-1}{m-1} + \mu \binom{n}{m}\\ \end{align*} \]

となり、整数となる。

第4問

難易度: B 標準、4段階中2
所要時間: 30分目安

問題

次の連立方程式の実数解を全て求めよ。

\[ \begin{equation} \left\{ \, \begin{aligned} \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y} &= 2(3x^2+y^2)(x^2+3y^2)\\ - \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y} &= 4(x^2+y^2)(x^2-y^2) \end{aligned} \right. \end{equation} \]

解答

互いの式を足し、引くことで、次の式が成り立つ

\[ \begin{equation} \left\{ \, \begin{aligned} \dfrac{3}{x} &= x^4+10x^2y^2+5y^4\\ \dfrac{2}{y} &= 5x^4+10x^2y^2+y^4 \end{aligned} \right. \end{equation} \]

$x,y\neq 0$ から、次のように変形できる

\[ \begin{equation} \left\{ \, \begin{aligned} 3 &= x^5+10x^3y^2+5xy^4\\ 2 &= 5x^4y+10x^2y^3+y^5 \end{aligned} \right. \end{equation} \]

これを再び足し引きすることによって、

\[ \begin{equation} \left\{ \, \begin{aligned} 5 &= x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5 = (x+y)^5\\ 1 &= x^5-5x^4y+10x^3y^2-10x^2y^3+5xy^4-y^5 = (x-y)^5 \end{aligned} \right. \end{equation} \]

実数の5乗根は一意なので

\[ x+y=\sqrt[5]{5},\qquad x-y=1. \]

これを解くと

\[ \boxed{(x,y)=\left(\dfrac{1+\sqrt[5]{5}}{2},\dfrac{\sqrt[5]{5}-1}{2}\right)} \]

となる。これは $x,y\neq0$ を満たすため、途中の変形はすべて可逆であり、実際に元の連立方程式の解である。

第5問

難易度: C 発展、4段階中3
所要時間: 30分目安

問題

$p$ は $3$ 以上の素数として、 $k = \lfloor 2p/3 \rfloor$ とする。この時、次の式の値が $p^2$ で割り切れることを示せ。

\[ \binom{p}{1} + \binom{p}{2} + \cdots + \binom{p}{k} \]

ただし、

\[ \binom{m}{n} = \frac{m!}{n!(m-n)!} \]

とする。

解答

\[ \frac{1}{p}\binom{p}{n} = \frac{1}{n} \frac{p-1}{1} \frac{p-2}{2} \cdots \frac{p-n+1}{n-1} \equiv \frac{(-1)^{n-1}}{n} \pmod{p} \]

ここで、 $x \equiv y \pmod{p}$ というのは、有理数 $x - y$ の分数の分子が $p$ の倍数であることを意味する。よって、次の式を示せば十分である。

\[ \sum_{n=1}^{k} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \equiv 0 \pmod{p} \]

ここで、 $p$ を $6$ で割った余りで場合分けをする。

$p = 6q + 1$ の時

$k = 4q$ となる。なので、

\[\begin{align*} \sum_{n=1}^{4q} \frac{(-1)^{n-1}}{n} &= \sum_{n=1}^{4q} \frac{1}{n} - 2 \sum_{n=1}^{2q}\frac{1}{2n} \\ &= \sum_{n=2q+1}^{4q} \frac{1}{n} \\ &= \sum_{2q+1}^{3q} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{6q+1-n} \right) \\ &= \sum_{2q+1}^{3q} \frac{p}{n(p-n)} \equiv 0 \pmod{p} \end{align*}\]

とわかる。

$p = 6q + 5$ の時

$k=4q+3$ である。同様に偶数番目の項をまとめると

\[ \sum_{n=1}^{4q+3}\frac{(-1)^{n-1}}n =\sum_{n=2q+2}^{4q+3}\frac1n. \]

この範囲を $n$ と $p-n$ で組にすると

\[ \sum_{n=2q+2}^{3q+2} \left(\frac1n+\frac1{p-n}\right) =\sum_{n=2q+2}^{3q+2}\frac{p}{n(p-n)} \equiv0\pmod p. \]

どちらの場合も $p$ で割った後の和が $0\pmod p$ となるため、元の二項係数の和は $p^2$ で割り切れる。

第6問

難易度: C 発展、4段階中3
所要時間: 30分目安

問題

任意の整数 $a, b, c$ に対して、次の式

\[ \sqrt{n^3 + an^2 + bn + c} \]

の値が整数とならないような非負整数 $n$ が存在することを示せ。

解答

$f(n) = n^3 + an^2 + bn + c$ とする。 $f(n), f(n+2)$ は偶奇を共にする上、任意の数の自乗は $4$ で割った余りが $0,1$ である。ゆえに、 $f(n), f(n+2)$ が共にある数の自乗だったとすれば、その差は $4$ で割り切れる。ところが、

\[ f(n+2) - f(n) = 6n^2 + 12n + 8 + 2b \equiv 2n^2 + 2b \pmod{4} \]

なので、 $n,b$ が偶奇を異にすれば、 $2n^2 + 2b$ は $0$ にならない。よって、 $f(n), f(n+2)$ どちらかは平方数にならない。

第7問

難易度: C 発展、4段階中3
所要時間: 35分目安

問題

$n$ を $2$ 以上の整数として、 $f(x)$ を $x$ の $n$ 次実数係数多項式とする。このとき、多項式 $\{f(x)\}^2$ は最大幾つの負の係数の項を持つか。

解答

$\{f(x)\}^2$ の最高次の係数と定数項は絶対に正なので、答えは $2n-1$ 以下となるのは明らか。次に、

\[\begin{align*} f(x) &= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \\ \{f(x)\}^2 &= b_{2n} x^{2n} + b_{2n-1} x^{2n-1} + \cdots + b_1 x + b_0 \end{align*}\]

とおいておく。 $b_i$ が $1 \leq i \leq 2n-1$ で全て負であると仮定すると、

まず $b_1 = 2a_0a_1 < 0$ である。ここで、一般性を失うことなく $a_0>0$ と仮定できて、 $a_1<0$ となる。次に係数を考えると、

\[ b_i = \sum_{j=0}^{i} a_j a_{i-j} = 2a_0a_i + \sum_{j=1}^{i-1} a_j a_{i-j} \]

となる。ここで、

\[ 2a_0a_i = b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_j a_{i-j} < 0 \]

となる。ここで帰納法の仮定から和の各項は正なので $a_i<0$ となる。これを $i=n$ まで繰り返すと $a_{n-1}<0,a_n<0$ を得る。ところが

\[ b_{2n-1}=2a_{n-1}a_n>0 \]

となり、全て負という仮定に矛盾する。ゆえに負の係数は高々 $2n-2$ 個である。

逆に、 $2n-2$ であることを示せばいいのだが、例えば次のような多項式を考えれば良い。

\[ f(x) = n(x^n+1) - (x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x) \]

そうすれば、

\[\begin{align*} \{f(x)\}^2 = n^2(x^{2n}+2x^n+1) &- 2n(x^n+1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x)\\ &+ (x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x)^2 \end{align*}\]

となる。次数 $1,\ldots,n-1$ と $n+1,\ldots,2n-1$ では、負の交差項の絶対値 $2n$ が最後の平方項の係数より大きいため係数は負になる。一方、次数 $0,n,2n$ の係数は正である。したがって実際に $2n-2$ 個の負の係数をもち、最大値は

\[ \boxed{2n-2} \]

である。

第8問

難易度: A 取り組みやすい、4段階中1
所要時間: 15分目安

問題

$n \in \mathbb{Z}_{>0}$ のとき、次の不等式を示せ。

\[ 2n^2 + 3n + 1 \geq 6(n!)^{2/n} \]

解答

第9問

難易度: B 標準、4段階中2
所要時間: 20分目安

問題

$n$ を正整数として、ある立方体の体積が次のような式で表されることはあるか。

\[ 3n^2+3n+7 \]

解答

考えている立方体の一辺を正整数 $m$ とすると、$m^3=3n^2+3n+7$ である。これを $3$ を法として見ると $m^3\equiv1$、したがって $m\equiv1\pmod3$ である。$m=3k+1$ とおいて展開し、両辺を $3$ で整理すると

\[ 3k(3k^2+3k+1) = n^2 + n + 2 \]

となる。左辺は $3$ で割り切れる。一方、$n\equiv0,1,2\pmod3$ のいずれでも

\[ n^2+n+2\equiv2,1,2\not\equiv0\pmod3 \]

であり、矛盾する。よって、このような立方体は $\boxed{\text{存在しない}}$。

第10問

難易度: B 標準、4段階中2
所要時間: 25分目安

問題

$f,g,h$ を二次関数とするとき、 $f\circ g \circ h$ が $1,2,3,4,5,6,7,8$ を解に持つことはあり得るか。

すなわち、$f(x),g(x),h(x)$ がそれぞれ $x$ についての二次関数である時、 $f(g(h(x)))=0$ が $x=1,2,3,4,5,6,7,8$ を解に持つことはあり得るか。

今後の問題は全て前者のような書き方をする。

解答

$f\circ g$ は4つの解を持つので、 $h$ は $x=1,2,3,4,5,6,7,8$ で4つの値を取る。対称性により、 $h$ の軸は $9/2$ となり、 $h(1)=h(8), h(2)=h(7), h(3)=h(6), h(4)=h(5)$ となる。

次に、 $f$ は2つの解を持つので、 $g\circ h(1), g\circ h(2), g\circ h(3), g\circ h(4)$ は2つの値を取る。対称性により、 $g\circ h(1)=g\circ h(4), g\circ h(2)=g\circ h(3)$ となる。

以上二つの条件を満たす $h$ を考えた時、 $h=Ax^2+Bx+C$ とおくと、$A=0$ となって、そもそも成り立たないことがわかる。よって、このような $f,g,h$ は存在しない。

第11問

難易度: A- 取り組みやすい、4段階中1
所要時間: 10分目安

問題

ミリアム:　アーちゃんだ！　やっほー！

アルティナ:　ミリアムさん……。お久しぶりです。

ミリアム:　もぅ！　お姉ちゃんって呼んでよ！

アルティナ:　それで、今日は平日だったと思いますが、どうしてここに？　情報局の任務は終わったのですか？

ミリアム:　いや、まだ終わってないんだけど、ちょうど学院に用事があってね！　ついで寄ったところだよ！　それで、アーちゃんは何をしてるの？

アルティナ:　私は今、基礎弾道学の宿題をしているところです。

ミリアム:　見せて見せて！

【問題】

照準と着弾のズレは、銃身の仰角によるか。理由を含めて考察せよ。

ミリアム: 懐かしいなぁ！　ボクも昔、こんな問題解いたような気がするなぁ！

アルティナ:　そうですか。では、どうやって解いたのですか？

ミリアム:　忘れちゃった！

アルティナ:　……。

リィン: おいおい……。

ミリアム:　あ、リィンだ！

アルティナ:　リィン教官、こんにちは。

リィン:　ミハイル中佐の宿題だな。困っているようなら手伝うけど？

アルティナ:　では、お願いします。

アルティナはそう言うと、手元に書いたメモを出した。

リィン:　弾道が放物線で、銃身は水平方向上に $\theta$ だけ傾いていて、照準は銃身に対して $\phi$ だけ下に傾いていると考えたわけだな。

アルティナ:　はい。

リィン:　じゃあ、初速を $v_0$ とすると、物理学Iの授業で習った通り、弾道の方程式は時間 $t$ を使って次のようになるわけだな。

\[\begin{align*} x(t) &= v_0 t \cos \theta \\ y(t) &= v_0 t \sin \theta - \frac{1}{2}gt^2 \end{align*}\]

アルティナ:　はい。そこまでは分かりますが……。

リィン:　じゃあ、弾道の放物線の方程式はどうなる？

アルティナ:　$y$ を $x$ で表すことになるので……

\[ y = \boxed{\phantom{hogehoge}} \]

選択肢

$\displaystyle y = x \tan \theta - \frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \theta} x^2$
$\displaystyle y = x \tan \theta - \frac{g}{v_0^2 \cos^2 \theta} x^2$
$\displaystyle y = \frac{v_0}{\cos \theta} x \tan \theta - \frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \theta} x^2$
$\displaystyle y = \frac{v_0}{\cos \theta} x \tan \theta - \frac{g}{v_0^2 \cos^2 \theta} x^2$
$\displaystyle y = \frac{v_0}{\cos \theta} x \tan \theta - \frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \theta} x^2 + \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$
$\displaystyle y = \frac{v_0}{\cos \theta} x \tan \theta - \frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \theta} x^2 + \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{g}$

リィン:　そうだな。じゃあ、照準の方程式は次のようになるな。

\[ y = \boxed{\phantom{hogehoge}} \]

選択肢

$y = (\tan \theta ) x$
$y = (\tan \phi ) x$
$y = (\tan \theta + \tan \phi ) x$
$y = (\tan \theta - \tan \phi ) x$
$y = \tan ( \theta + \phi ) x$
$y = \tan ( \theta - \phi ) x$

リィン:　じゃあ、照準と弾道の交点を求めるわけだな。これは、どうすればいいかわかるか？

アルティナ:　……。先程の方程式を連立させて、解けばいいのではないでしょうか？

リィン:　その通りだ。その計算結果はこうなるな。

\[ x = \boxed{\phantom{hogehoge}} \]

選択肢

$\displaystyle \frac{v_0}{\cos \theta} \frac{\tan \theta - \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi}$
$\displaystyle \frac{v_0}{\cos \theta} \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 + \tan \theta \tan \phi}$
$\dfrac{2v_o\cos ^2 \theta}{g}\tan (\theta + \phi)$
$\dfrac{2v_o\cos ^2 \theta}{g}\tan (\theta - \phi)$
$\dfrac{2v_o\cos ^2 \theta}{g}(\tan \theta - \tan (\phi - \theta))$
$\dfrac{2v_o\cos ^2 \theta}{g}(\tan \theta - \tan (\phi + \theta))$
$\dfrac{2v_o^2\cos ^2 \theta}{g}(\tan \theta - \tan (\phi - \theta))$
$\dfrac{2v_o^2\cos ^2 \theta}{g}(\tan \theta - \tan (\phi + \theta))$

リィン: つまり、距離と照準が合っていたとしても、導力銃を上向や下向きに撃ち出すと、水平に打ち出した時と違って、着弾点がずれるということだな。

アルティナ:　はい。それに、この式を使えば、水平方向に打ち出した時、照準と銃身のズレの角度と、着弾地点までの距離の関係も求められますね。

\[ x_{Ideal} = \boxed{\phantom{hogehoge}} \]

選択肢

$\dfrac{2v_0 \cos ^2 \theta}{g}(1 - \tan (\pi/4 - \phi))$
$\dfrac{2v_0 \cos ^2 \theta}{g}(1 - \tan (\pi/4 + \phi))$
$\dfrac{2v_0^2 \cos ^2 \theta}{g}(1 - \tan (\pi/4 - \theta))$
$\dfrac{2v_0^2 \cos ^2 \theta}{g}(1 - \tan (\pi/4 + \theta))$
$\dfrac{2v_0^2 \cos ^2 \theta}{g}\tan (\phi)$
$\dfrac{2v_0^2 \cos ^2 \theta}{g}\tan (\theta)$

リィン:　そうだな。じゃあ、次に、照準と銃身の距離についても考えてみよう。照準と銃身の距離を $\Delta$ にして考えると、先程アルティナが書いた図は次のようになるな。

リィン:　ただ計算が面倒になるし、 $\theta = 0$ として、先ほどと同じように着弾地点を計算してみよう。

\[ x = \frac{v_0^2}{g} \tan \phi \left\{ 1 \pm \sqrt{\boxed{\phantom{hogehoge} } } \right\} \]

選択肢

$\displaystyle 1 + \frac{2g\Delta}{v_0^2 \cos ^2 \phi}$
$\displaystyle 1 - \frac{2g\Delta}{v_0 \cos ^2 \phi}$
$\displaystyle 1 + \frac{2g\Delta}{v_0^2 \tan ^2 \phi}$
$\displaystyle 1 - \frac{2g\Delta}{v_0 \tan ^2 \phi}$
$\displaystyle 1 + \frac{g\Delta}{v_0^2 \cos ^2 \phi}$
$\displaystyle 1 - \frac{g\Delta}{v_0 \cos ^2 \phi}$
$\displaystyle 1 + \frac{g\Delta}{v_0^2 \tan ^2 \phi}$
$\displaystyle 1 - \frac{g\Delta}{v_0 \tan ^2 \phi}$

リィン:　$\pm$ があるけど、どちらの方を選べばいいかな？

アルティナ:　……。発射地点よりも銃弾が後ろに進むことはないので、 $\boxed{\phantom{h}}$ が正しいと思います。

選択肢

$+$
$-$

リィン: そうだな。じゃあ、どんな時に先程の式のルートの中を $1$ に近似できるかはわかるか？

アルティナ:　……。 $\Delta$ が十分小さい時ですか？

リィン:　その通りだ。だけどそれだけじゃないね。

アルティナ:　$\boxed{\phantom{hogehoge}}$ 時ですね。

リィン:　その通りだ。ちゃんと考えられて偉いぞ。

アルティナ:　ありがとうございます。……今日は長めにお願いしますね。

選択肢

$\phi$ が十分小さい
$\phi$ が十分大きい
$v_0$ が十分小さい
$v_0$ が十分大きい

ミリアム: あれ？　ボク、放置されちゃった！？

解答

第12問

難易度: B 標準、4段階中2
所要時間: 20分目安

問題

$n \in \mathbb{Z}_{>0}$ に対して、 $F(x)$ を $n$ 次の多項式函数とする。このとき、 $P(i)$ が $i = 0,1,2, \dots ,n$ 全てで整数ならば、任意の $k \in \mathbb{Z}$ に対して $F(k) \in \mathbb{Z}$ であることを証明せよ。

解答

第13問

難易度: B- 標準、4段階中2
所要時間: 20分目安

問題

$a \in \mathbb{Z}$ として、次の方程式が整数では無い正の有理根を持つとき、 $a$ の値を求めよ。

\[ 4x^3 - (a-2)x - (a+4) = 0 \]

解答

第14問

難易度: A 取り組みやすい、4段階中1
所要時間: 5分目安

問題

$a>0$ として、 $\sqrt{x} = a + \frac{1}{a}$ の時、 $x-2+\sqrt{x^2-4x}$ の値を求めよ。ただし、答えに絶対値をつけてはならない。

解答

第15問

難易度: A 取り組みやすい、4段階中1
所要時間: 15分目安

問題

円Oがあり、その周上に点Aと点Bをとる。そして、弦ABの内の長くない方の弦に点Cをとる。そして、点Cで円Oに接する接線と、点A,Bを通るABと垂直な線分の交点をそれぞれ点E,Fとする。また、ABとOCの交点を点Dとする。

誘導が必要ない人は、次の式の成立を証明せよ。

\[ CE \cdot CF = AD \cdot BD \]

\[ CD^2 = AE \cdot BF \]

次から誘導をつけながら解いていく。

直角三角形に注目することによって、次の式が成立する。

\[ \angle ADE = \angle A\boxed{\;1\;}E \]

次に接舷定理を用いることによって、次の式が成立する。

\[ \angle A\boxed{\;1\;}E = \angle \boxed{\;2\;}\boxed{\;3\;}C \]

また、円周角の性質から、次の式が成立する。

\[ \angle \boxed{\;2\;}\boxed{\;3\;}C = \angle DFC \]

ここで、$ADE = , ; CAD = $ とおく。

そうすることによって、次の式が成立する。

\[ CE = DE \cdot \sin \boxed{\;4\;} \]

\[ CF = DF \cdot \sin \boxed{\;5\;} \]

\[ AD = DE \cdot \sin \boxed{\;6\;} \]

\[ BD = DF \cdot \sin \boxed{\;7\;} \]

これによって、一つ目の式が示された。同様にして2つ目の式も示すことができる。その概要を示せ。

解答

第16問

難易度: C+ 発展、4段階中3
所要時間: 30分目安

問題

$(n,a,b)\in \mathbb{Z}_{>0}^3$ として、 $p$ を素数とする。この時、次の条件それぞれについて、 $p^n = a^3 + b^3$ を満たす $(n,a,b)$ の組が存在するかどうかを判定せよ。

ただし、$(n,a,b)\in \mathbb{Z}_{>0}^3$ は、$n,a,b$ は正の整数であることを意味する。以降はこのように書くこととする。

$p=2$
$p=3$
$p>3$

解答

第17問

難易度: D 挑戦、4段階中4
所要時間: 20分目安

問題

任意の整数 $k$ に対して、

\[ k = \pm 1^2 \pm 2^2 \pm 3^2 \pm \cdots \pm m^2 \]

の $\pm$ から $+,-$ を適当に選んで成立するような $m$ が存在することを示し、そのような $m$ が無限に存在することを示せ。

解答

第18問

難易度: B+ 標準、4段階中2
所要時間: 15分目安

問題

$a, b, c$ を異なる正整数として、次の条件を満たすとする。

\[ ab + bc + ca \geq 3k^2 - 1 \]

ただし $k$ は正整数とする。このとき次の不等式が成り立つことを示せ。

\[ a^3 + b^3 + c^3 \geq 3(abc + 3k) \]

解答

一般性を失うことなく、$a<b<c$ とおける。このとき、

\[ \begin{align*} (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 &\geq 1^2 + 1^2 + 2^2 = 6 \\ a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca &\geq 3 \end{align*} \]

となる。ここで与えられた不等式は、

\[ \begin{align*} a^3 + b^3 + c^3 - 3abc &\geq 9k \\ (a+b+c)( a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca ) &\geq 9k \\ \end{align*} \]

となる。上の事実と合わせれば、 $a+b+c \geq 3k$ を示ば問題は示されたこととなるが、

\[ \begin{align*} (a + b + c)^2 &= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca + 3(ab + bc + ca) \\ &\geq 3 + 3(3k^2 - 1) = 9k^2 \end{align*} \]

により、示される。

第19問

難易度: C 発展、4段階中3
所要時間: 30分目安

問題

次の条件を満たす正整数 $a$ が存在することを示せ。

\[ \begin{aligned} a &\not \equiv 1 \pmod 7 \\ a^3 &\equiv 1 \pmod{7^3} \end{aligned} \]

解答