物理

1

回転運動方程式は

\[ \frac{1}{3}ml^2\ddot{\theta} = -mg\frac{l}{2}\cos \theta \]

となり、重心運動方程式は

\[\begin{align*} m\ddot{x} &= R_x \\ m\ddot{y} &= mg + R_y \end{align*}\]

ここで、\(x,y\) については、

\[\begin{align*} x &= \frac{l}{2} \cos \theta \\ y &= \frac{l}{2} \sin \theta \\ \dot{x} &= -\frac{l}{2} \sin \theta \dot{\theta} \\ \dot{y} &= \frac{l}{2} \cos \theta \dot{\theta} \\ \ddot{x} &= -\frac{l}{2} \cos \theta \dot{\theta}^2 - \frac{l}{2} \sin \theta \ddot{\theta} \\ \ddot{y} &= -\frac{l}{2} \sin \theta \dot{\theta}^2 + \frac{l}{2} \cos \theta \ddot{\theta} \end{align*}\]

以上のことより、重心運動方程式は次のようになる

\[ -m\frac{l}{2} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\theta}^2 \\ \ddot{\theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} R_x \\ mg + R_y \end{pmatrix} \]

\[ -m\frac{l}{2} \begin{pmatrix} \dot{\theta}^2 \\ \ddot{\theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R_x \\ mg + R_y \end{pmatrix} \]

これが要するに角加速度の導出だったわけだ。 \(\ddot{\theta}\) について無視したら次元の数が足りないとなるだろう？

で、軸に働く力を求めるとなると、上の方程式を解けばいいわけだ。

エネルギー積分によって、

\[ \frac{1}{3}ml^2\ddot{\theta} = -mg\frac{l}{2}\cos \theta \]

を \(0 \to \pi /2\) で積分して、いろいろと式を変形すると、求められていくわけだ。

問題

真空中に，中空で断面積 \(S\)〔\(\text{m}^2\)〕のソレノイドがある。このソレノイドの単位長さあたりの導線の巻数は n〔\(1/\text{m}\)〕であり，導線には電流 \(I\)〔\(\text{A}\)〕の定常電流が流れている。このとき以下の問いに答えよ。ただし真空の透磁率を \(\mu_0\)〔\(\text{N}/\text{A}^2\)〕，円周率を \(\pi\) とし，ソレノイドの長さは十分に長いものとする。

(問 1) ソレノイド内部の磁場(磁界)の強さを求めよ。

このソレノイドの内部全体に，比透磁率 \(\mu_r\) ( \(\gg 1\) )の鉄(鉄芯)を入れた。このとき，次の問いに答えよ。

(問 2) ソレノイド内部の磁場の強さ \(H\)〔\(\text{A}/\text{m}\)〕と磁束密度を求めよ。

(問 2)と同じ鉄芯が入った同じソレノイドを，図 1 のように，その中心が半径 \(R\)〔\(\text{m}\)〕の円環を描くように均一に曲げて鉄芯の端を接続した。ソレノイドには電流 \(I\)〔\(\text{A}\)〕が流れているとして，以下の問いに答えよ。

(問 3) ソレノイド全体の巻数 \(N\) と \(H,R,I\) の間に成り立つ関係式を，これらを用いて表せ。

2

問題

\(xy\) 平面上に円形の非伝導体の紐があって、その紐は次のようにチャージされている。

ここで、 \(\lambda\) は単位長さあたりの電荷密度である。紐の中心は原点にあって、半径は \(R\) である。紐は回転しておらず、電荷は静止しているとする。以下の問いに答えよ。

(問題 1) 原点における電場の大きさを求めよ。

(問題 2) \(x, \ y\) 軸と垂直な軸 \(z\) 軸を考える。 \(z\) 軸上の点 \((0,0,z)\) における電場の大きさを求めよ。さらに、 \(z \gg R\) の時の電場の振る舞いを求めよ。

解答

(問題 1)

円環上の微小電荷要素は \[ dq = \lambda(\phi)\, R\, d\phi = \lambda_0 R \cos\phi\, d\phi \]

中心から各電荷要素までの距離は常に \(R\) であるため、微小電場の大きさは \[ dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{R^2} \]

電場の方向は、電荷要素から中心へ向かう方向であり、対称性より \(x\) 軸方向成分のみが残る。

\(x\) 成分は \[ dE_x = dE \cos\phi \]

したがって \[ dE_x = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\lambda_0 R \cos\phi\, d\phi}{R^2}\cos\phi = \frac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon_0 R}\cos^2\phi\, d\phi \]

全電場は \[ E = \frac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon_0 R} \int_0^{2\pi}\cos^2\phi\, d\phi \]

\[ \int_0^{2\pi}\cos^2\phi\, d\phi = \pi \]

よって \[ \boxed{ E_{\text{center}} = \frac{\lambda_0}{4\varepsilon_0 R} } \]

(問題 2)

軸上の点から円環上の任意の電荷要素までの距離は \[ r = \sqrt{R^2 + z^2} \]

\(y\) 軸や \(z\) 軸と水平な成分は対称性より足し合わせれば消えるので、 \(z\) 軸と垂直な成分のみを考えると \[ dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{r^2}\frac{R}{r} \]

ここに \(dq = \lambda_0 R \cos\phi\, d\phi\) を代入すると \[ dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\lambda_0 R^2 \cos\phi}{(R^2+z^2)^{3/2}}\, d\phi \]

そしてそのうち、 \(x\) 軸と水平な成分は、

\[ dE_x = dE \cos\phi \]

結果として \[ E(z) = \frac{\lambda_0 R^2}{4\pi\varepsilon_0 (R^2+z^2)^{3/2}} \int_0^{2\pi}\cos^2\phi\, d\phi \]

\[ \int_0^{2\pi}\cos^2\phi\, d\phi = \pi \]

よって \[ \boxed{ E(z) = \frac{\lambda_0 R^2}{4\varepsilon_0 (R^2+z^2)^{3/2}} } \]

\(z \gg R\) では \[ (R^2+z^2)^{3/2} \approx z^3 \]

したがって \[ E(z) \approx \frac{\lambda_0 R^2}{4\varepsilon_0 z^2} \]